{"id":2774,"date":"2018-01-28T10:00:18","date_gmt":"2018-01-28T08:00:18","guid":{"rendered":"https:\/\/www.hoerske.de\/?p=2774"},"modified":"2019-02-02T00:11:48","modified_gmt":"2019-02-01T22:11:48","slug":"geburtstagsparadoxon","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/hoerske.de\/blog\/2018\/01\/geburtstagsparadoxon\/","title":{"rendered":"Geburtstagsparadoxon"},"content":{"rendered":"

Die Mathematik h\u00e4lt viele interessante und kuriose Problemstellungen mit den dazugeh\u00f6rigen L\u00f6sungsans\u00e4tzen bereit. Eines davon, auch als Geburtstagsproblem bezeichnet, ist das Geburtstagsparadoxon. H\u00e4ufig wird es als Beispiel daf\u00fcr genannt, dass bestimmte Wahrscheinlichkeiten und Zuf\u00e4lle intuitiv falsch gesch\u00e4tzt werden.<\/p>\n

[newsletter_lock]<\/p>\n

Das Geburtstagsparadoxon<\/h2>\n

Die Problemstellung ((mathematische Bezeichnung)) oder auch Fragestellung beim Geburtstagsparadoxon lautet wie folgt:<\/p>\n

Du und dein Freund gehen auf eine Feier. Mit euch zusammen sind 23 Personen anwesend. Dein Freund schl\u00e4gt dir eine Wette vor. “Wenn du zwei Leute findest, die am gleichen Tag Geburtstag haben, gebe ich dir 200 \u20ac. Wenn nicht, gibst du mir 50 \u20ac. Solltest du die Wette annehmen?<\/p><\/blockquote>\n

Die L\u00f6sung ist einfach: Ja. Denn die Gewinnchance liegt \u00fcber 50%.<\/p>\n

\u201eBefinden sich in einem Raum mindestens 23 Personen, dann ist die Chance, dass zwei oder mehr dieser Personen am gleichen Tag (ohne Beachtung des Jahrganges) Geburtstag haben, gr\u00f6\u00dfer als 50\u00a0%.\u201c ((Richard von Mises: \u00dcber Aufteilungs- und Besetzungswahrscheinlichkeiten.<\/i> Revue de la Facult\u00e9 de Sciences de l\u2019Universit\u00e9 d\u2019Istanbul N.S., 4. 1938\u201339, S. 145\u2013163.<\/span>))<\/p><\/blockquote>\n

Auf den ersten Blick erscheint es ausgesprochen paradox. Immerhin gibt es 365 m\u00f6gliche Geburtstage, mit dem 29. Februar sogar 366.<\/p>\n

Die meisten Menschen h\u00e4tten die Wette deswegen ablehnt, weil sie sch\u00e4tzen, dass die Wahrscheinlichkeit nur bei 5% liegt. Der Unterschied zwischen durchschnittlichem Sch\u00e4tzwert und Wahrscheinlichkeit liegt bei solchen Fragestellungen bei einer Zehnerpotenz.<\/p>\n

Diesen Umstand hat der Mathematiker Richard von Mises zum erstmal beschrieben und dem Problem auch den Namen Geburtstagsparadoxon gegeben.<\/p>\n

[adsense]<\/p>\n

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung<\/h2>\n

Ich versuche jetzt mal einen Schwenk in Richtung Stochastik. Wer mit Mathematik wenig am Hut hat, der kann dieses Kapitel einfach nur schnell durchscrollen bzw. klappt es einfach gar nicht erst aus \ud83d\ude42<\/p>\n

[su_spoiler title=”Achtung Mathematik” open=”no” style=”default” icon=”plus” anchor=”” class=””]<\/p>\n

<\/span><\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n

Dies ist die Laplace-Formel<\/a><\/span>. P ist die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Ereignis A. Fangen wir einfach an:[\/su_spoiler]<\/p>\n

Wahrscheinlichkeit, dass eine b<\/span>eliebige Anzahl an Personen an einem beliebigen Tag gemeisam Geburtstag haben
\n<\/span><\/h3>\n

[su_spoiler title=”Achtung Mathematik” open=”no” style=”default” icon=”plus” anchor=”” class=””]<\/p>\n

In unserem Beispiel fragen wir nach der Wahrscheinlichkeit, dass beliebige viele Personen in einem Raum an einem beliebigen Tag gemeinsam ihren Geburtstag haben. Um es einfach zu halten werden wir die Wahrscheinlichkeit am Anfang nur in einer \u00dcberschlagsrechnung berechnen.<\/p>\n

Nacheinander f\u00fcgen wir der Feierrunde von a die Freunde von a zum Experiment hinzu. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kumpel b am gleichen Tag Geburtstag feiert, betr\u00e4gt \"\frac {1}{365}}\". Denn bei zwei Personen kann das Ereignis des selber Geburtstages nur einmal auftreten, aber an 365 verschiedenen Tagen im Jahr.<\/p>\n

Dann nehmen wir den weiteren Freund namens c hinzu und die approximierte Wahrscheinlichkeit betr\u00e4gt nun schon \"\approx {\frac {1}{365}}+{\frac {2}{365}}\". Denn die Wahrscheinlichkeit erh\u00f6ht sich um \"{\frac {2}{365}}\", weil c zusammen mit a oder b Geburtstag haben k\u00f6nnte.<\/p>\n

Bei der vierten hinzugezogenen Person d erh\u00f6ht sich die \u00fcberschlagene Wahrscheinlichkeit entsprechend schon auf \"\approx {\frac {1}{365}}+{\frac {2}{365}}+{\frac {3}{365}}\". Man kann ganz gut erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit hier rapide ansteigt. Denn das paradoxe ist, dass mit jeder weiteren Person auch die Anzahl potentiell m\u00f6glicher gemeinsamer Geburtstagstermine steigt.<\/p>\n

Es handelt sich allerdings um \u00dcberschlagswerte. So wurde bisher n\u00e4mlich nicht ber\u00fccksichtigt, dass die M\u00f6glichkeit besteht bei der Gruppe evtl. schon einige Personen zusammen Geburtstag gehabt haben k\u00f6nnten. Wird c zum Experiment hinzugezogen, erh\u00f6ht sich die Wahrscheinlichkeit nicht um\u00a0 \"\frac {2}{365}}\" , da wir ber\u00fccksichtigen m\u00fcssen, dass a und b m\u00f6glicherweise schon gemeinsam Geburtstag feiern. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist somit etwas kleiner als \"\frac {1}{365}}+{\frac {2}{365}}\"<\/p>\n

Mit d liegt die Wahrscheinlichkeit auch wieder etwas unter dem Wert von \"\frac {1}{365}}+{\frac {2}{365}}+{\frac {3}{365}}\", da auch hier evtl. schon einige der anwesenden Personen (a, b und c) zusammen Geburtstag haben. F\u00fcr das Verst\u00e4ndnis, der sehr hohen Wahrscheinlichkeit f\u00fcr eine Gruppe von mehreren Personen, dass eine beliebige Anzahl von Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, reicht die Formel aber aus.<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n

Diese Formel f\u00fcr unendlich gro\u00dfe Gruppen ist also nur eine Ann\u00e4herung an das Problem. Schauen wir uns mal an, wie es noch genauer geht. [\/su_spoiler]<\/p>\n

Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben<\/span><\/h3>\n

[su_spoiler title=”Achtung Mathematik” open=”no” style=”default” icon=”plus” anchor=”” class=””]<\/p>\n

Nun wird es etwas komplizierter. Schauen wir uns zu n\u00e4chst die Anzahl aller m\u00f6glichen Kombinationen f\u00fcr \"n\" Personen \"m=365^n\" an. Wir nehmen weiterhin an, dass alle F\u00e4lle gleich wahrscheinlich sind. So ergeben sich f\u00fcr zwei Personen \"365^2&=133225\" m\u00f6gliche Geburtstagskombinationen.<\/p>\n

All diese m\u00f6glichen Kombinationen beinhalten: \"u=365\cdot 364\cdot \ldots \cdot (365-(n-1))\" und meinen dabei nur unterschiedliche Geburtstage. Von der ersten Person ausgehend kann der Geburtstag noch frei gew\u00e4hlt werden. F\u00fcr die zweite Person gibt es dann nur noch 364 m\u00f6gliche Varianten, an denen Person 1 nicht Geburtstag hat. <\/span><\/span><\/p>\n

Nutzen wir nun wieder die Formel von Laplace f\u00fcr die Berechnung der Wahrscheinlichkeit:<\/p>\n

<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ P &= \frac {u}{m}}={\frac {365\cdot 364\cdot \ldots \cdot (365-(n-1))}{365^{n}}, \]\"<\/p>\n

<\/span><\/span><\/p>\n

F\u00fcr alle Personen \"n\" gilt, dass sie an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben. Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr mindestestens einen Geburtstag am gleichen Tag im Verlaufe eines Jahres gilt entsprechend:<\/p>\n

<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ P &=1-{\frac {u}{m}}=1-{\frac {365\cdot 364\cdot \ldots \cdot (365-(n-1))}{365^{n}}} \]\"<\/p>\n

<\/span><\/span><\/p>\n

F\u00fcr unsere Gruppe von 23 Personen \"n=23\" aus dem Ausgangsbeispiel ergibt sich also folgend:<\/p>\n

<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ P &=1-{\frac {365\cdot 364\cdot \ldots \cdot 343}{365^{23}}}\approx 0{,}5073>0{,}5} \]\"<\/p>\n

<\/span><\/span><\/p>\n

Nach dem Schubfachprinzip<\/a><\/span> kann man folglich annehmen, dass f\u00fcr alle \"n>365\" die Wahrscheinlichkeit gleich 1 ist. Also gibt es bei mehr als 365 Personen mit Sicherheit zwei Personen mit gleichem Geburtstag.<\/p>\n

[\/su_spoiler]<\/p>\n

\n
<\/dd>\n<\/dl>\n
\n
<\/dd>\n<\/dl>\n
\n
<\/dd>\n<\/dl>\n

Praktische Abweichungen<\/h2>\n

Die von mir verwendeten Zahlen sind stark vereinfacht um es auch f\u00fcr Nicht- Mathematiker nachvollziehbar zu machen. So habe ich Schaltjahre und Geburtstage am 29. Februar nicht ber\u00fccksichtigt.<\/p>\n

In der wahren Welt sind im Gegensatz zur Stochastik nicht alle Geburtstermine gleich wahrscheinlich. So ist es offensichtlich, dass im Sommer mehr Kinder geboren als im Winter ((Emma Hawe, Alison Macfarlane and John Bithell: Daily and seasonal variation in live births, stillbirths and infant mortality in England and Wales, 1979\u201396)) . Die Wahrscheinlichkeit nimmt dadurch leicht zu.<\/p>\n

Nimmt man jedoch reale Zahlen als Basis f\u00fcr eine Simulationen zeigt sich, dass auch f\u00fcr diese Daten die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, nach wie vor bei 23 Personen 50\u00a0% \u00fcbersteigt ((Hugo Pfoertner in de.sci.mathematik<\/a>, 22. Januar 2005.<\/span>)). Auch die Ber\u00fccksichtigung des vernachl\u00e4ssigten Schalttages \u00e4ndert an diesen Werten nichts.<\/p>\n

[adsense]<\/p>\n

Warum versch\u00e4tzen wir uns?<\/h2>\n

Unser Gef\u00fchl verwechselt das Problem offenbar mit folgender Frage: \u201eWie gro\u00df muss die Gruppe sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent eine der Personen an einem bestimmten Tag Geburtstag hat, zum Beispiel an meinem Geburtstag?\u201c<\/p>\n

Darauf ist die richtige Antwort in der Tat viel gr\u00f6\u00dfer, n\u00e4mlich 253 Personen. Die Herleitung daf\u00fcr m\u00f6chte ich euch an dieser Stelle ersparen. Das richtige Verst\u00e4ndnis f\u00fcr den Inhalt aller Fragestellung ist auch hier ein wichtiger Indikator daf\u00fcr, wie wir einen Sachverhalt einsch\u00e4tzen. F\u00fcgt man, wie ich am Anfang, noch eine Wette hinzu, sinkt die angenommene und gesch\u00e4tzte Wahrscheinlichkeit weiter ab. Dann kommt noch die Unsicherheit hinzu eine Wette verlieren zu k\u00f6nnen.<\/p>\n

[\/newsletter_lock]<\/p>\n

Off-Topic<\/h2>\n

Die Formeln wurden mit LaTeX geschrieben und durch das Plugin QuickLaTeX im Beitrag gerendert.<\/p>\n

Nach einer Textanalyse ist dieser Text zu 43% subjektiv, die wichtigsten Worte sind: Fragestellung, Geburtstagsparadoxon, Geburtstag, Mathematik, Wahrscheinlichkeit, Wette, Beispiel<\/em><\/p>\n

Ein Computer w\u00fcrde diesen Text der Kategorie Kultur<\/a> zu ordnen, ich bin ja eher f\u00fcr Wissenschaft<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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Hobbyimker, Freizeitblogger, Techniknerd.\",\"sameAs\":[\"https:\\\/\\\/www.hoerske.de\\\/\",\"https:\\\/\\\/www.facebook.com\\\/timo.hoerske\",\"https:\\\/\\\/www.instagram.com\\\/thoerske\\\/\",\"https:\\\/\\\/x.com\\\/timo_hoerske\"],\"url\":\"https:\\\/\\\/hoerske.de\\\/blog\\\/author\\\/roter_admin\\\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO Premium plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Geburtstagsparadoxon - Timos Paper","description":"Die Mathematik h\u00e4lt viele interessante und kuriose Problemstellungen mit den dazugeh\u00f6rigen L\u00f6sungsans\u00e4tzen bereit. 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